2204. В треугольнике
ABC
медианы, проведённые к сторонам
AC
и
BC
, пересекаются под прямым углом. Известно, что
AC=b
и
BC=a
. Найдите
AB
.
Ответ.
\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{5}}
.
Указание. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении
2:1
, считая от вершины.
Решение. Пусть
M
и
N
— середины сторон
AC
и
BC
треугольника
ABC
,
O
— точка пересечения медиан
BM
и
AN
. Обозначим
OM=x
,
ON=y
. Тогда
BO=2OM=2x
,
AO=2ON=2y
.
Из прямоугольных треугольников
AOM
и
BON
находим, что
AM^{2}=AO^{2}+OM^{2},~BN^{2}=BO^{2}+ON^{2},

или
\syst{4y^{2}+x^{2}=\frac{a^{2}}{4}\\4x^{2}+y^{2}=\frac{b^{2}}{4}.\\}

Сложив почленно эти равенства, получим, что
5(x^{2}+y^{2})=\frac{a^{2}+b^{2}}{4}.

Поэтому
x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{20}
.
Из прямоугольного треугольника
AOB
находим:
AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}=4y^{2}+4x^{2}=4(y^{2}+x^{2})=\frac{a^{2}+b^{2}}{5}.

Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1952, билет 15, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 52-15-4, с. 39
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1983 (отделение политической экономии), вариант 1, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 108
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1994, предварительный экзамен, № 6, вариант 1