2204. В треугольнике ABC
медианы, проведённые к сторонам AC
и BC
, пересекаются под прямым углом. Известно, что AC=b
и BC=a
. Найдите AB
.
Ответ. \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{5}}
.
Указание. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон AC
и BC
треугольника ABC
, O
— точка пересечения медиан BM
и AN
. Обозначим OM=x
, ON=y
. Тогда BO=2OM=2x
, AO=2ON=2y
.
Из прямоугольных треугольников AOM
и BON
находим, что
AM^{2}=AO^{2}+OM^{2},~BN^{2}=BO^{2}+ON^{2},
или
\syst{4y^{2}+x^{2}=\frac{a^{2}}{4}\\4x^{2}+y^{2}=\frac{b^{2}}{4}.\\}
Сложив почленно эти равенства, получим, что
5(x^{2}+y^{2})=\frac{a^{2}+b^{2}}{4}.
Поэтому x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{20}
.
Из прямоугольного треугольника AOB
находим:
AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}=4y^{2}+4x^{2}=4(y^{2}+x^{2})=\frac{a^{2}+b^{2}}{5}.