2206. В треугольнике ABC
медианы AE
и BD
, проведённые к сторонам BC
и AC
, пересекаются под прямым углом. Сторона BC
равна a
. Найдите другие стороны треугольника ABC
, если AE^{2}+BD^{2}=d^{2}
.
Ответ. \frac{2d}{3}
, \sqrt{\frac{20d^{2}}{9}-a^{2}}
.
Указание. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины.
Решение. Пусть O
— точка пересечения медиан. Обозначим OE=x
, OD=y
. Тогда
AO=2x,~BO=2y,~AE=3x,~BD=3y,
и по условию задачи
9x^{2}+9y^{2}=9(x^{2}+y^{2})=d^{2}.
Следовательно,
AB^{2}=4x^{2}+4y^{2}=4(x^{2}+y^{2})=\frac{4}{9}d^{2}.
Поэтому
AB=\frac{2}{3}d,~AC=2AD=2\sqrt{AO^{2}+DO^{2}}=2\sqrt{4x^{2}+y^{2}},
а x
и y
найдём из системы уравнений
\syst{x^{2}+y^{2}=\frac{d^{2}}{9}\\x^{2}+4y^{2}=\frac{a^{2}}{4}.\\}
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1983 (отделение политической экономии), вариант 3, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 109