2214. В прямоугольном треугольнике ABC
высота, опущенная на гипотенузу AB
, равна a
, а биссектриса прямого угла равна b
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{a^{2}b^{2}}{2a^{2}-b^{2}}
.
Указание. С помощью формулы площади треугольника выразите указанную биссектрису через катеты треугольника.
Решение. Пусть CL
и CH
— соответственно биссектриса и высота треугольника ABC
. Обозначим BC=x
, AC=y
.
Поскольку AB\cdot CH=BC\cdot AC
, то
a\sqrt{x^{2}+y^{2}}=xy,~\mbox{или}~x^{2}y^{2}=a(x^{2}+y^{2})=a((x+y)^{2}-2xy).
Поскольку S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCL}+S_{\triangle ACL}
, то x+y=\frac{xy\sqrt{2}}{b}
.
Подставив найденное выражение для x+y
в первое уравнение, получим, что
xy=\frac{2a^{2}b^{2}}{2a^{2}-b^{2}}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}xy=\frac{a^{2}b^{2}}{2a^{2}-b^{2}}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1973, № 3, вариант 3,
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 230