2215. В прямоугольном треугольнике ABC
проведена биссектриса CL
прямого угла. Из вершины A
(\angle A\gt45^{\circ}
) на CL
опущен перпендикуляр AD
. Найдите площадь треугольника ABC
, если AD=a
, CL=b
.
Ответ. \frac{a^{2}b}{2a-b}
.
Указание. С помощью формулы площади треугольника выразите биссектрису CL
через катеты треугольника ABC
.
Решение. Заметим, что AC=a\sqrt{2}
. Обозначим BC=x
. Поскольку S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACL}+S_{\triangle BCL}
, то
\frac{ax\sqrt{2}}{2}=\frac{ab\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{bx\sqrt{2}}{4}.
Отсюда находим, что x=\frac{ab\sqrt{2}}{2(a-b)}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{ax\sqrt{2}}{2}=\frac{a^{2}b}{2a-b}.