2222. Внутри прямоугольного треугольника ABC
(угол B
— прямой) взята точка D
, причём площади треугольников ABD
и BCD
соответственно в три и в четыре раза меньше площади треугольника ABC
. Отрезки AD
и DC
равны соответственно a
и c
. Найдите BD
.
Ответ. \sqrt{\frac{8c^{2}+3a^{2}}{35}}
.
Указание. Расстояние от точки D
до катетов BC
и AB
равны \frac{1}{4}AB
и \frac{1}{3}BC
соответственно.
Решение. Пусть P
и Q
— проекции точки D
на катеты BC
и AB
. Обозначим BC=x
, AB=y
. Из условия задачи следует, что
BP=QD=\frac{x}{3},~BQ=DP=\frac{y}{4}.
Поэтому PC=\frac{2x}{3}
, AQ=\frac{3y}{4}
.
По теореме Пифагора из треугольников DPC
и DQA
находим, что
\frac{4x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=c^{2},~\frac{x^{2}}{9}+\frac{9y^{2}}{4}=a^{2}.
Умножив обе части первого уравнения на 8, а второго на 3 и сложив почленно эти уравнения, получим, что
\frac{35x^{2}}{9}+\frac{35y^{2}}{16}=8c^{2}+3a^{2}.
Отсюда следует, что
BD=\sqrt{BP^{2}+BQ^{2}}=\sqrt{\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}}=\sqrt{\frac{8c^{2}+3a^{2}}{35}}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1987, вариант 1, № 5
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — с. 46