2223. В треугольнике ABC
сторона BC
равна 6, сторона AC
равна 5, а угол при вершине B
равен 30^{\circ}
. Найдите площадь треугольника, если расстояние от вершины A
до прямой BC
меньше, чем \frac{1}{\sqrt{2}}
.
Ответ. \frac{3(3\sqrt{3}-4)}{2}
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Обозначим AB=x
. По теореме косинусов из треугольника ABC
находим, что
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos30^{\circ},
или
25=36+x^{2}-2\cdot6\cdot x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},~\mbox{или}~x^{2}-3\sqrt{3}x+11=0.
Отсюда находим, что x_{1}=3\sqrt{3}-4
или x_{2}=3\sqrt{3}+4
.
Найдём в каждом из этих случаев расстояние от вершины A
до прямой BC
:
d_{1}=AB\cdot\sin30^{\circ}=\frac{x_{1}}{2}=\frac{3\sqrt{3}-4}{2},~d_{2}=\frac{3\sqrt{3}+4}{2}.
Условию d\lt\frac{1}{\sqrt{2}}
удовлетворяет только x_{1}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}(3\sqrt{3}-4)6\cdot\frac{1}{2}=\frac{3(3\sqrt{3}-4)}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1990, № 1, вариант 1