2225. В параллелограмме ABCD
биссектриса угла BAD
пересекает сторону CD
в точке M
, причём \frac{DM}{MC}=2
. Известно, что угол CAM
равен \alpha
. Найдите угол BAD
.
Ответ. 2\arctg(5\tg\alpha)
.
Указание. Примените теорему синусов к треугольнику ACD
.
Решение. Обозначим \angle BAD=\varphi
, MC=x
, DM=2x
. Поскольку \angle AMD=\angle BAM=\angle MAD
, то треугольник AMD
— равнобедренный, AD=DM=2x
. В треугольнике ADC
известно, что
CD=3x,~AD=2x,~\angle CAD=\angle CAM+\angle MAD=\alpha+\frac{\varphi}{2},
\angle ACD=\angle AMD-\angle CAM=\frac{\varphi}{2}-\alpha.
По теореме синусов
\frac{AD}{\sin\angle ACD}=\frac{CD}{\sin\angle CAD}~\Rightarrow~\frac{2x}{\sin\left(\frac{\varphi}{2}-\alpha\right)}=\frac{3x}{\sin\left(\frac{\varphi}{2}+\alpha\right)}~\Rightarrow
\Rightarrow~2\sin\left(\frac{\varphi}{2}+\alpha\right)=3\sin\left(\frac{\varphi}{2}-\alpha\right)~\Rightarrow
\Rightarrow~2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\alpha+2\cos\frac{\varphi}{2}\sin\alpha=3\sin\frac{\varphi}{2}\cos\alpha-3\cos\frac{\varphi}{2}\sin\alpha.
Поэтому
\sin\frac{\varphi}{2}\cos\alpha=5\cos\frac{\varphi}{2}\sin\alpha.
Следовательно, \tg\frac{\varphi}{2}=5\tg\alpha
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1988, вариант 1, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — с. 49