2229. В правильном треугольнике ABC
со стороной a
точки E
и D
являются серединами сторон BC
и AC
соответственно. Точка F
лежит на отрезке DC
, отрезки BF
и DE
пересекаются в точке M
. Найдите MF
, если известно, что площадь четырёхугольника ABMD
составляет \frac{5}{8}
площади треугольника ABC
.
Ответ. \frac{a\sqrt{7}}{12}
.
Указание. DM=\frac{a}{4}
, DF=\frac{a}{6}
.
Решение. Высота трапеции ABMD
равна половине высоты треугольника ABC
. Поэтому
S_{ABMD}=\frac{1}{2}(AB+MD)\cdot\frac{h}{2}=\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot h,
где h
— высота треугольника ABC
. Отсюда находим, что MD=\frac{1}{4}AB=\frac{a}{4}
.
Из подобия треугольников MDF
и BAF
следует, что DF=\frac{1}{3}AD=\frac{a}{6}
. Из треугольника DMF
находим по теореме косинусов, что
MF=\sqrt{DF^{2}+DM^{2}-2DF\cdot DM\cos60^{\circ}}=
=a\sqrt{\frac{1}{36}+\frac{1}{16}-\frac{1}{24}}=\frac{a\sqrt{7}}{12}.