2233. В прямоугольный равнобедренный треугольник ABC
с прямым углом при вершине B
вписан прямоугольный треугольник MNC
, причём \angle MNC=90^{\circ}
, точка N
лежит на AC
, а точка M
— на стороне AB
. В каком отношении точка N
должна делить гипотенузу AC
, чтобы площадь треугольника MNC
составляла \frac{3}{8}
от площади треугольника ABC
?
Ответ. \frac{AN}{NC}=\frac{1}{3}
.
Указание. Обозначьте AN=x
, CN=y
и составьте уравнение относительно \frac{x}{y}
.
Решение. Обозначим AN=x
, CN=y
. Тогда
MN=AN=x,~AB=CB=\frac{x+y}{\sqrt{2}},
S_{\triangle MNC}=\frac{1}{2}MN\cdot NC=\frac{xy}{2},~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=(x+y)^{2}.
Из условия задачи следует, что
\frac{xy}{2}=\frac{3(x+y)^{2}}{24}~\Rightarrow~16xy=3x^{2}+6xy+3y^{2}~\Rightarrow~3x^{2}-10xy+3y^{2}=0.
Решая это уравнение относительно \frac{x}{y}
, получим, что \frac{x}{y}=\frac{1}{3}
или \frac{x}{y}=3
. Второе решение не удовлетворяет условию задачи, так как x\lt y
(точка M
лежит на катете AB
).
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1974, № 3, вариант 1