2234. В прямоугольный равнобедренный треугольник ABC
с прямым углом при вершине B
вписан прямоугольник MNKB
так, что две его стороны MB
и KB
лежат на катетах, а вершина N
— на гипотенузе AC
. В каком отношении точка N
должна делить гипотенузу, чтобы площадь параллелограмма составляла 18\%
площади треугольника?
Ответ. \frac{1}{9}
или 9.
Указание. Обозначьте AN=x
, CN=y
и составьте уравнение относительно x
и y
.
Решение. Обозначим AN=x
, CN=y
. Тогда
MN=\frac{x}{\sqrt{2}},~KN=\frac{y}{\sqrt{2}},~AB=CB=(x+y)\sqrt{2},
S_{MNKB}=MN\cdot NK=\frac{xy}{2},~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{(x+y)^{2}}{4}.
Из условия задачи следует, что
\frac{xy}{2}=0{,}18(x+y)^{2}~\Rightarrow~9x^{2}-82xy+9y^{2}=0.
Решая это уравнение относительно \frac{x}{y}
, находим, что
\frac{x}{y}=\frac{1}{9}~\mbox{или}~\frac{x}{y}=9.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1974, № 3, вариант 2