2235. Высоты равнобедренного остроугольного треугольника, в котором AB=BC
, пересекаются в точке O
. Найдите площадь треугольника ABC
, если AO=5
, а высота AD
равна 8.
Ответ. 40.
Указание. Составьте тригонометрическое уравнение относительно угла BCA
.
Решение. Пусть M
— середина AC
. Обозначим \angle BAC=\angle BCA=\alpha
. Тогда и \angle BOD=\angle AOM=\alpha
. Из прямоугольных треугольников BDO
и AMO
находим, что
BO=\frac{OD}{\cos\alpha}=\frac{AD-AO}{\cos\alpha}=\frac{3}{\cos\alpha},~OM=AO\cos\alpha=5\cos\alpha,
а из прямоугольного треугольника ADC
—
AC=\frac{AD}{\sin\alpha}=\frac{8}{\sin\alpha}.
Поэтому MC=\frac{1}{2}AC=\frac{4}{\sin\alpha}
.
С другой стороны, из прямоугольного треугольника BMC
находим, что
MC=BM\ctg\alpha=(BO+OM)\ctg\alpha=\left(\frac{3}{\cos\alpha}+5\cos\alpha\right)\ctg\alpha.
Таким образом, имеем уравнение
\left(\frac{3}{\cos\alpha}+5\cos\alpha\right)\ctg\alpha=\frac{4}{\sin\alpha}.
Отсюда находим, что \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}
. Тогда
\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}},~\tg\alpha=2,~AC=\frac{8}{\sin\alpha}=4\sqrt{5},~BM=MC\tg\alpha=4\sqrt{5}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BM=\frac{(4\sqrt{5})^{2}}{2}=40.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1992, билет 9, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 92-9-1, с. 323