2236. Около трапеции ABCD
описана окружность, центр которой лежит на основании AD
. Найдите площадь трапеции, если AB=\frac{3}{4}
, AC=1
.
Ответ. \frac{108}{25}
.
Указание. Рассмотрите прямоугольный треугольник ACD
.
Решение. Пусть P
— проекция вершины C
на диаметр AD
. В прямоугольном треугольнике ACD
:
AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\frac{5}{4},~AP\cdot AD=AC^{2}.
Отсюда находим, что AP=\frac{AC^{2}}{AD}=\frac{9}{5}
.
Поскольку AD\cdot CP=AC\cdot CD
, то CP=\frac{AC\cdot CD}{AD}=\frac{12}{5}
. Поскольку отрезок AP
равен средней линии трапеции ABCD
, а CP
— высота трапеции, то
S_{ABCD}=AP\cdot CP=\frac{9}{5}\cdot\frac{12}{5}=\frac{108}{25}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1992, билет 10, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 92-10-1, с. 324