2237. В равнобедренной трапеции ABCD
с основаниями BC
и AD
диагонали пересекаются в точке O
. Найдите периметр трапеции, если BO=\frac{7}{8}
, OD=\frac{25}{8}
, \angle ABD=90^{\circ}
.
Ответ. \frac{62}{5}
.
Указание. Обозначьте BC=7x
, AD=25x
и рассмотрите прямоугольный треугольник ABD
.
Решение. Из подобия треугольников BOC
и DOA
следует, что
\frac{BC}{AD}=\frac{BO}{OD}=\frac{7}{25}.
Обозначим BC=7x
, AD=25x
. Пусть P
— проекция вершины B
на основание AD
. Тогда AP=\frac{1}{2}(AD-BC)=9x
.
Из прямоугольного треугольника ABD
находим, что
AD\cdot DP=BD^{2},~\mbox{или}~25\cdot16x^{2}=16.
Значит, x=\frac{1}{5}
. Поэтому
BC=\frac{7}{5},~AD=5,~BP=\sqrt{AP\cdot PD}=12x=\frac{12}{5},
CD=AB=\sqrt{BP^{2}+AP^{2}}=\sqrt{\frac{144}{25}+\frac{81}{25}}=\frac{15}{5}=3.
Следовательно, периметр трапеции ABCD
равен
\frac{7}{5}+5+6=\frac{62}{5}.