2238. В равнобедренном треугольнике ABC
основание AB
является диаметром окружности, которая пересекает боковые стороны AC
и CB
в точках D
и E
соответственно. Найдите периметр треугольника ABC
, если AD=2
, AE=\frac{8}{3}
.
Ответ. \frac{80}{9}
.
Указание. Докажите, что BE=AD
и рассмотрите подобные треугольники AEB
и COB
(O
— центр данной окружности).
Решение. Поскольку \angle DAB=\angle EBA
, то \cup DB=\cup AE
. Поэтому \cup BE=\cup AD
и BE=AD=2
. Поскольку \angle AEB=90^{\circ}
, то
AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}+4}=\frac{10}{3}.
Пусть O
— центр окружности. Из подобия треугольников AEB
и COB
следует, что \frac{OB}{BC}=\frac{BE}{AB}
. Отсюда находим, что
AC=BC=\frac{OB\cdot AB}{BE}=\frac{5}{3}\cdot\frac{\frac{10}{3}}{2}=\frac{25}{9}.
Следовательно, периметр треугольника ABC
равен
2BC+AB=\frac{50}{9}+\frac{10}{3}=\frac{80}{9}.