2241. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
биссектриса угла ABC
пересекает сторону AD
в точке M
, а перпендикуляр, опущенный из вершины A
на сторону BC
, пересекает BC
в точке N
, причём BN=NC
и AM=2MD
. Найдите стороны и площадь четырёхугольника ABCD
, если его периметр равен 5+\sqrt{3}
, а угол BAD
равен 90^{\circ}
и угол ABC
равен 60^{\circ}
.
Ответ. AB=BC=2
, AD=\sqrt{3}
, DC=1
, S_{ABCD}=\frac{3\sqrt{3}}{2}
.
Указание. Четырёхугольник ABCD
— трапеция.
Решение. Пусть F
и Q
— проекции точки C
на прямые AB
и AD
соответственно. Обозначим BN=NC=x
. Тогда
AB=2x,~AM=\frac{2x\sqrt{3}}{3},~MD=\frac{x\sqrt{3}}{3},
AQ=FC=BC\cdot\sin60^{\circ}=x\sqrt{3},
т. е. AQ=AD
. Поэтому
CD=AF=AB-BF=2x-x=x.
По условию задачи
AB+BC+CD+AD=5+\sqrt{3},~\mbox{или}~2x+2x+x+\sqrt{3}x=(5+\sqrt{3})x=5+\sqrt{3}.
Отсюда находим, что x=1
.
Поскольку ABCD
— трапеция, то
S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot AD=\frac{2+1}{2}\cdot\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.