2243. В трапеции ABCD
стороны BC
и AD
параллельны, BC=a
, AD=b
, \angle CAD=\alpha
, \angle BAC=\beta
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. \frac{a(a+b)\sin\alpha\sin(\alpha+\beta)}{2\sin\beta}
.
Указание. Через вершину B
проведите прямую, параллельную диагонали AC
, до пересечения с прямой AD
в точке M
. Тогда S_{ABCD}=S_{\triangle MBD}
.
Решение. В треугольнике ABC
\angle ABC=180^{\circ}-\angle BCA-\angle BAC=180^{\circ}-(\alpha+\beta).
Из этого треугольника, по теореме синусов находим, что
AC=\frac{BC\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta}=\frac{a\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta}.
Через вершину B
проведём прямую, параллельную диагонали AC
, до пересечения с прямой AD
в точке M
. Тогда
S_{ABCD}=S_{\triangle MBD}=\frac{1}{2}MB\cdot MD\sin\angle BMD=
=\frac{1}{2}AC(MA+AD)\sin\alpha=\frac{a(a+b)\sin\alpha\sin(\alpha+\beta)}{2\sin\beta}.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1967, вариант 3, № 3
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — вариант 3, № 3, с. 77