2244. В остроугольном треугольнике две высоты равны 3 и
2\sqrt{2}
, а их точка пересечения делит третью высоту в отношении
5:1
, считая от вершины треугольника. Найдите площадь треугольника.
Ответ. 6.
Указание. Пусть
\alpha
и
\beta
— острые углы треугольника, из вершин которых проведены данные высоты. Составьте систему тригонометрических уравнений относительно
\alpha
и
\beta
.
Решение. Пусть
AA_{1}
,
BB_{1}
и
CC_{1}
— высоты треугольника
ABC
,
H
— точка их пересечения;
AA_{1}=3
,
BB_{1}=2\sqrt{2}
. Обозначим
\angle CAB=\alpha,~\angle ABC=\beta,~HC_{1}=x.

Тогда
CC_{1}=6x,~\angle AHC_{1}=\beta,~\angle BHC_{1}=\alpha.

Из прямоугольных треугольников
AA_{1}B
и
BB_{1}A
находим, что
AB=\frac{3}{\sin\beta}=\frac{2\sqrt{2}}{\sin\alpha}.

Поэтому
\sin\beta=\frac{3\sin\alpha}{2\sqrt{2}}
. Из прямоугольных треугольников
BC_{1}C
и
BC_{1}H
находим, что
BC_{1}=\frac{6x}{\tg\beta}=x\tg\alpha.

Поэтому
\tg\alpha\tg\beta=6~\Rightarrow~\sin\alpha\sin\beta=6\cos\alpha\cos\beta~\Rightarrow~\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta=36\cos^{2}\alpha\cos^{2}\beta.

Подставим в последнее уравнение
\sin^{2}\beta=\frac{9\sin^{2}\alpha}{8},~\cos^{2}\beta=1-\sin^{2}\beta=1-\frac{9\sin^{2}\alpha}{8},~\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha.

Получим уравнение
35\sin^{4}\alpha-68\sin^{2}\alpha+32=0,

из которого находим, что
\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}
(
\alpha
и
\beta
меньше
90^{\circ}
). Поэтому
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}},~\sin\beta=\frac{3}{\sqrt{10}},~\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{10}},~AB=\frac{3}{\sin\beta}=\sqrt{10}.

Из треугольника
ABC
находим по теореме синусов:
AC=\frac{AB\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}=3\sqrt{2}.

Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{10}\cdot3\sqrt{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=6.


Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1966, билет 2, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 66-2-3, с. 115