2246. Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна 4. Найдите площадь трапеции, если известно, что одна из её диагоналей равна 5.
Ответ. \frac{50}{3}
.
Указание. Через вершину трапеции проведите прямую, параллельную одной из диагоналей.
Решение. Пусть диагональ BD
трапеции ABCD
равна 5. Через вершину C
основания BC
проведём прямую, параллельную диагонали BD
, до пересечения с прямой AD
в точке K
. Тогда ACK
— прямоугольный треугольник, CK=BD=5
.
Пусть H
— проекция вершины C
на прямую AD
. По теореме Пифагора
HK=\sqrt{CK^{2}-CH^{2}}=\sqrt{25-16}=3.
Из подобия треугольников ACH
и CKH
следует, что
AC=\frac{CK\cdot CH}{HK}=\frac{20}{3}.
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ACK}=\frac{1}{2}AC\cdot CK=\frac{50}{3}.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 4.8, с. 83
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4.8, с. 82
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1980, 8 класс
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1984, № 6 задача 2 (1983, с. 302), с. 188