2248. Докажите, что обратная величина квадрата высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равна сумме обратных величин квадратов катетов.
Указание. Произведение указанной высоты на гипотенузу равно произведению катетов.
Решение. Пусть h
— указанная высота, a
, b
— катеты прямоугольного треугольника, c
— гипотенуза, S
— площадь. Тогда
S=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}.
Поэтому
h=\frac{ab}{c},~\frac{1}{h}=\frac{c}{ab}.
Следовательно,
\frac{1}{h^{2}}=\frac{c^{2}}{(ab)^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}.