2251. В треугольнике ABC
даны три стороны: AB=26
, BC=30
и AC=28
. Найдите часть площади этого треугольника, заключённую между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины B
.
Ответ. 36.
Указание. Примените формулу Герона и свойство биссектрисы треугольника.
Решение. Пусть BP
и BQ
— высота и биссектриса данного треугольника ABC
. По формуле Герона
S_{\triangle ABC}=\sqrt{42(42-30)(42-28)(42-26)}=\sqrt{42\cdot12\cdot14\cdot16}=14\cdot6\cdot4=336.
С другой стороны, S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BP
. Поэтому
BP=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AC}=\frac{2\cdot336}{28}=24.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AQ}{QC}=\frac{AB}{BC}=\frac{26}{30}=\frac{13}{15}.
Поэтому AQ=\frac{13}{28}AC=13
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника APB
находим, что
AP=\sqrt{AB^{2}-BP^{2}}=\sqrt{26^{2}-24^{2}}=\sqrt{2\cdot50}=10.
Следовательно,
PQ=AQ-AP=13-10=3,~S_{\triangle BPQ}=\frac{1}{2}PQ\cdot BP=\frac{3\cdot24}{2}=36.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 67, с. 83