2252. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите радиус окружности, которая имеет центр на средней стороне и касается двух других сторон.
Ответ. 6.
Указание. Пусть центр O
указанной окружности расположен на стороне AB
треугольника ABC
. Площадь треугольника ABC
равна сумме площадей треугольников AOC
и BOC
.
Решение. Пусть AC=13
, AB=14
, BC=15
, O
— центр указанной окружности (O
на стороне AB
), R
— её радиус, P
и Q
— точки касания окружности со сторонами AC
и BC
соответственно. По формуле Герона
S_{\triangle ABC}=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84.
Поскольку OP
и OQ
— высоты треугольников AOC
и BOC
, то
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}AC\cdot OP+\frac{1}{2}BC\cdot OQ=\frac{1}{2}(AC+BC)R=14R.
Следовательно,
R=\frac{S_{\triangle ABC}}{14}=\frac{84}{14}=6.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 68, с. 83