2256. Найдите площадь квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами a
и b
(сторона квадрата лежит на гипотенузе, а две вершины — на катетах треугольника).
Ответ. \frac{a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})}{(a^{2}+b^{2}+ab)^{2}}
.
Указание. Выразите гипотенузу через сторону квадрата и тангенс острого угла треугольника.
Решение. Первый способ. Пусть \alpha
— угол треугольника, противолежащий катету, равному a
; x
— сторона квадрата. Тогда
x\tg\alpha+x\ctg\alpha+x=\sqrt{a^{2}+b^{2}},~\tg\alpha=\frac{a}{b}.
Следовательно,
x=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1}=\frac{ab\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}+b^{2}+ab},~S=x^{2}=\frac{a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})}{(a^{2}+b^{2}+ab)^{2}}.
Второй способ. Пусть сторона квадрата равна x
, гипотенуза равна c
, а опущенная на неё высота равна h
. Тогда
h=\frac{ab}{c}=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Сторона квадрата, параллельная гипотенузе, отсекает от данного треугольника подобный ему треугольник, поэтому
\frac{x}{c}=\frac{h-x}{h}~\Rightarrow~x=\frac{ch}{c+h}.
Следовательно,
S=x^{2}=\frac{c^{2}h^{2}}{(c+h)^{2}}=\frac{c^{2}\cdot\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}}{c^{2}+h^{2}+2ch}=\frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}+\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+2ab}=
=\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{(a^{2}+b^{2})c^{2}+a^{2}b^{2}+2abc^{2}}=\frac{a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})}{(a^{2}+b^{2})^{2}+a^{2}b^{2}+2ab(a^{2}+b^{2})}=
=\frac{a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})}{(a^{2}+b^{2}+ab)^{2}}.