2257. В треугольнике известны стороны: AB=15
, BC=13
и AC=14
. Через точку C
проведён перпендикуляр к стороне AC
до пересечения в точке K
с продолжением стороны AB
. Найдите BK
и CK
.
Ответ. \frac{25}{3}
и \frac{56}{3}
.
Указание. Найдите высоту BP
треугольника ABC
.
Решение. Заметим, что треугольник ABC
— остроугольный. Пусть P
— проекция вершины B
на сторону AC
. Обозначим CP=x
. Тогда AP=14-x
, а так как
BC^{2}-CP^{2}=AB^{2}-AP^{2},
то x
является корнем уравнения
196-x^{2}=225-(14-x)^{2},
т. е. x=5
.
Обозначим \angle CBP=\alpha
, \angle ABP=\beta
. Тогда
\sin\angle KCB=\sin\alpha=\frac{CP}{BC}=\frac{5}{13},~\sin\angle CPB=\sin\beta=\frac{AP}{AB}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.
Из треугольника CBK
по теореме синусов находим, что
BK=\frac{BC\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{25}{3}.
По теореме Пифагора
CK=\sqrt{(AB+BK)^{2}-AC^{2}}=\frac{56}{3}.