2259. В параллелограмме ABCD
большая сторона AD
равна 5. Биссектрисы углов A
и B
пересекаются в точке M
. Найдите площадь параллелограмма, если BM=2
, а \cos\angle BAM=\frac{4}{5}
.
Ответ. 16.
Указание. Докажите, что треугольник AMB
— прямоугольный.
Решение. Поскольку \angle BAD+\angle ABC=180^{\circ}
, то треугольник AMB
— прямоугольный. Поэтому
AB=\frac{BM}{\sin\angle BAM}=2\cdot\frac{5}{3}=\frac{10}{3}.
По формуле \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha
находим, что
\sin\angle BAD=3\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}.
Следовательно,
S_{ABCD}=AD\cdot AB\sin\angle BAD=5\cdot\frac{10}{3}\cdot\frac{24}{25}=16.