2260. Медианы прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, относятся как \sqrt{2}:1
. Найдите острые углы треугольника.
Ответ. \arctg\sqrt{\frac{2}{7}}
, \arcctg\sqrt{\frac{2}{7}}
.
Указание. Выразите указанные медианы через катеты треугольника.
Решение. Пусть катеты треугольника равны 2x
и 2y
. Тогда квадраты указанных медиан равны 4x^{2}+y^{2}
и x^{2}+4y^{2}
. Из условия задачи следует уравнение
\frac{4x^{2}+y^{2}}{x^{2}+4y^{2}}=2,~\mbox{или}~7y^{2}=2x^{2}.
Поэтому тангенс одного из острых углов треугольника равен
\frac{2y}{2x}=\frac{y}{x}=\sqrt{\frac{2}{7}}.