2262. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна h
и вдвое больше своей проекции на боковую сторону. Найдите площадь треугольника.
Ответ. h^{2}\sqrt{3}
.
Указание. Найдите угол между указанной высотой и боковой стороной данного равнобедренного треугольника.
Решение. Пусть BP
— проекция высоты BK
равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
) на боковую сторону BC
. Поскольку BP=\frac{1}{2}BK
, то \angle KBP=60^{\circ}
. Поэтому
CK=BK\tg60^{\circ}=h\sqrt{3},~AC=2CK=2h\sqrt{3}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BK=h^{2}\sqrt{3}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.187, с. 171