2265. В равнобедренном треугольнике ABC
с тупым углом A
, равным \alpha
, проведены высоты BN
и CM
. Найдите отношение площади четырёхугольника BMNC
к площади треугольника ABC
.
Ответ. 4\sin^{4}\frac{\alpha}{2}
.
Указание. S_{BMNC}=\frac{1}{2}BN\cdot CM\sin\alpha
.
Решение. Обозначим BC=a
. Если AK
— высота треугольника ABC
, то
AK=BK\ctg\angle BAK=\frac{a}{2}\ctg\frac{\alpha}{2}.
Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AK=\frac{1}{4}a^{2}\ctg\frac{\alpha}{2}.
Из прямоугольного треугольника BNC
находим, что
BN=BC\cos\angle NBC=a\cos\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=a\sin\frac{\alpha}{2}.
Аналогично CM=a\sin\frac{\alpha}{2}
. Тогда
S_{BMNC}=\frac{1}{2}BN\cdot CM\sin\angle BAC=\frac{1}{2}a^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\sin\alpha.
Следовательно,
\frac{S_{BMNC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\sin\alpha}{\ctg\frac{\alpha}{2}}=4\sin^{4}\frac{\alpha}{2}.