2271. Точки D
, E
и F
выбраны на сторонах AC
, AB
и BC
равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC)
так, что DE=DF
и при этом AE+FC=AC
. Докажите, что \angle BAC=\angle FDE
.
Решение. Отметим на основании AC
точку D'
, для которой CD'=AE
. Тогда
AD'=AC-CD'=AC-AE=FC,
поэтому треугольники AED'
и CD'F
равны по двум сторонам и углу между ними, значит, D'E=D'F
.
Точки D
и D'
равноудалены от концов отрезка EF
, поэтому обе они лежат на серединном перпендикуляре к EF
, а значит, совпадают. Следовательно,
\angle BAC=\angle EAD=180^{\circ}-\angle ADE-\angle AED=180^{\circ}-\angle ADE-\angle CDF=\angle FDE.
Что и требовалось доказать.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1993, отборочный тур, 9 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 93.43