2275. На стороне AC
остроугольного треугольника ABC
выбраны точки M
и K
так, что \angle ABM=\angle CBK
. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников ABM
, ABK
, CBM
и CBK
, лежат на одной окружности.
Решение. Без ограничения общности можно считать, что точка M
лежит между A
и K
. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
и O_{4}
— центры описанных окружностей треугольников ABM
, ABK
, CBM
и CBK
соответственно. Прямые O_{1}O_{3}
и O_{1}O_{2}
являются соответственно серединными перпендикулярами к отрезкам BM
и AB
. Значит, углы O_{2}O_{1}O_{3}
и ABM
равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Аналогично \angle O_{2}O_{4}O_{3}=\angle CBK
, а значит, \angle O_{2}O_{4}O_{3}=\angle O_{2}O_{1}O_{3}
. Это и означает, что точки O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
, O_{4}
лежат на одной окружности.
Примечание. Точка пересечения прямых O_{1}O_{2}
и O_{3}O_{4}
— центр O
описанной окружности треугольника ABC
, причём точки O_{2}
и O_{3}
лежат соответственно на отрезках OO_{1}
и OO_{4}
. Это позволяет обосновать расположение точек на рисунке.