2276. Теорема Карно. Дан треугольник ABC
. Из точек A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, лежащих на прямых BC
, AC
и AB
соответственно, восставлены перпендикуляры к этим прямым. Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
C_{1}A^{2}-C_{1}B^{2}+A_{1}B^{2}-A_{1}C^{2}+B_{1}C^{2}-B_{1}A^{2}=0.
Решение. Необходимость. Пусть указанные перпендикуляры пересекаются в точке M
. По теореме Пифагора
MA^{2}-C_{1}A^{2}=MB^{2}-C_{1}B^{2},~MB^{2}-A_{1}B^{2}=MC^{2}-A_{1}C^{2},~MC^{2}-B_{1}C^{2}=MA^{2}-B_{1}A^{2}.
Сложив почленно эти равенства, получим, что
C_{1}A^{2}-C_{1}B^{2}+A_{1}B^{2}-A_{1}C^{2}+B_{1}C^{2}-B_{1}A^{2}=0.
Достаточность. Пусть
C_{1}A^{2}-C_{1}B^{2}+A_{1}B^{2}-A_{1}C^{2}+B_{1}C^{2}-B_{1}A^{2}=0,
M
— точка пересечения перпендикуляров к BC
и AC
. Тогда
MB^{2}-MC^{2}=A_{1}B^{2}-A_{1}C^{2},~MA^{2}-MC{2}=B_{1}A^{2}-B_{1}C^{2}.
Вычитая почленно эти равенства и учитывая условие задачи, получим, что
MB^{2}-MA^{2}=A_{1}B^{2}-A_{1}C^{2}+B_{1}C^{2}-B_{1}A^{2}=C_{1}B^{2}-C_{1}A^{2},
а это и означает, что точка M
лежит на перпендикуляре, восставленном к AB
в точке C_{1}
.
Примечание. Теорема верна и в случае, когда точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
не лежат на прямых, содержащих стороны треугольника ABC
, т. е. прямые, проходящие через точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
перпендикулярно прямым BC
, AC
и AB
соответственно, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
C_{1}A^{2}-C_{1}B^{2}+A_{1}B^{2}-A_{1}C^{2}+B_{1}C^{2}-B_{1}A^{2}=0.