2276. Теорема Карно. Дан треугольник ABC
. Из точек A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, лежащих на прямых BC
, AC
и AB
соответственно, восставлены перпендикуляры к этим прямым. Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
C_{1}A^{2}-C_{1}B^{2}+A_{1}B^{2}-A_{1}C^{2}+B_{1}C^{2}-B_{1}A^{2}=0.
Решение. Необходимость. Пусть указанные перпендикуляры пересекаются в точке M
. По теореме Пифагора
MA^{2}-C_{1}A^{2}=MB^{2}-C_{1}B^{2},~MB^{2}-A_{1}B^{2}=MC^{2}-A_{1}C^{2},~MC^{2}-B_{1}C^{2}=MA^{2}-B_{1}A^{2}.
Сложив почленно эти равенства, получим, что
C_{1}A^{2}-C_{1}B^{2}+A_{1}B^{2}-A_{1}C^{2}+B_{1}C^{2}-B_{1}A^{2}=0.
Достаточность. Пусть
C_{1}A^{2}-C_{1}B^{2}+A_{1}B^{2}-A_{1}C^{2}+B_{1}C^{2}-B_{1}A^{2}=0,
M
— точка пересечения перпендикуляров к BC
и AC
. Тогда
MB^{2}-MC^{2}=A_{1}B^{2}-A_{1}C^{2},~MA^{2}-MC^{2}=B_{1}A^{2}-B_{1}C^{2}.
Вычитая почленно эти равенства и учитывая условие задачи, получим, что
MB^{2}-MA^{2}=A_{1}B^{2}-A_{1}C^{2}+B_{1}C^{2}-B_{1}A^{2}=C_{1}B^{2}-C_{1}A^{2},
а это и означает, что точка M
лежит на перпендикуляре, восставленном к AB
в точке C_{1}
.
Примечание. Теорема верна и в случае, когда точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
не лежат на прямых, содержащих стороны треугольника ABC
, т. е. прямые, проходящие через точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
перпендикулярно прямым BC
, AC
и AB
соответственно, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
C_{1}A^{2}-C_{1}B^{2}+A_{1}B^{2}-A_{1}C^{2}+B_{1}C^{2}-B_{1}A^{2}=0.
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 81, с. 188
Источник: Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. — М.: Наука, 1966. — № 7, с. 33
Источник: Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — № 3, с. 36
Источник: Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1962. — с. 137
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 300, с. 35
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 7.41, с. 187