2277. Вневписанные окружности треугольника ABC
касаются сторон BC
, AC
и AB
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Докажите, что перпендикуляры, восставленные к этим сторонам в точках соответственно A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, пересекаются в одной точке.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
, а вневписанная окружность треугольника ABC
, касающаяся стороны BC
, касается продолжения стороны AB
в точке M
. Тогда
AM=p,~BA_{1}=BM=AM-AB=p-c.
Аналогично,
CA_{1}=p-b,~CB_{1}=p-a,~AB_{1}=p-c,~AC_{1}=p-b,~BC_{1}=p-a,
поэтому
BA_{1}-CA_{1}+CB_{1}-AB_{1}+AC_{1}-BC_{1}=
=p-c-(p-b)+p-a-(p-c)+p-b-(p-a)=0.
Следовательно, по теореме Карно прямые, проходящие через точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
перпендикулярно прямым соответственно BC
, AC
и AB
, пересекаются в одной точке.