2278. Докажите, что если перпендикуляры, опущенные из точек A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
на прямые BC
, AC
и AB
соответственно, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры, опущенные из точек A
, B
и C
на прямые соответственно B_{1}C_{1}
, A_{1}C_{1}
и A_{1}B_{1}
, также пересекаются в одной точке.
Решение. Если перпендикуляры, опущенные из точек A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
на прямые BC
, AC
и AB
соответственно, пересекаются в одной точке, то по теореме Карно
AB_{1}^{2}-B_{1}C^{2}+CA_{1}^{2}-A_{1}B^{2}+BC_{1}^{2}-C_{1}A^{2}=0.
Через точки A
, B
и C
проведены прямые a
, b
и c
, перпендикулярные прямым B_{1}C_{1}
, A_{1}C_{1}
и A_{1}B_{1}
соответственно, и при этом
A_{1}B^{2}-BC_{1}^{2}+C_{1}A^{2}-AB_{1}^{2}+B_{1}C^{2}-CA_{1}^{2}=
=-(AB_{1}^{2}-B_{1}C^{2}+CA_{1}^{2}-A_{1}B^{2}+BC_{1}^{2}-C_{1}A^{2})=0.
Следовательно, по теореме Карно прямые a
, b
и c
пересекаются в одной точке.
Источник: Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — № 4, с. 36
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 301, с. 35
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 7.45(а), с. 188