2282. В трапеции ABCD
боковая сторона AB
перпендикулярна основаниям AD
и BC
, диагонали трапеции пересекаются в точке E
, F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки E
на сторону AB
. Известно, что \angle DFE=\alpha
. Найдите \angle CFE
.
Ответ. \alpha
.
Решение. Первый способ. Обозначим AD=a
, BC=b
. Треугольник BEC
подобен треугольнику DEA
с коэффициентом \frac{BC}{AD}=\frac{b}{a}
поэтому \frac{BF}{AF}=\frac{CE}{AE}=\frac{b}{a}
.
Пусть C'
и D'
— точки симметричные вершинам соответственно C
и D
относительно прямой AB
. Тогда DCC'D'
— равнобедренная трапеция с основаниями DD'=2a
и CC'=2b
, а так как \frac{BC}{AD'}=\frac{b}{a}=\frac{BF}{AF}
, то прямоугольные треугольники BFC
и AFD'
подобны, поэтому \angle BFC=\angle AFD'
. Следовательно, диагональ CD'
трапеции DCC'D'
проходит через точку F
. Аналогично, диагональ DC'
также проходит через точку F
, значит, F
— точка пересечения диагоналей этой трапеции.
Пусть диагонали AC'
и BD'
трапеции ABC'D'
пересекаются в точке E'
. Тогда E'
симметрична точке E
относительно прямой AB
, поэтому точки E
, F
и E'
лежат на одной прямой, а так как углы D'FE'
и DEF
симметричны относительно AB
, то они равны. Следовательно,
\angle CFE=\angle D'FE'=\angle DFE=\alpha.
Второй способ. Прямоугольные треугольники BCF
и ADF
подобны, так как \frac{BF}{AF}=\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AD}
. Следовательно,
\angle CFE=\angle BCF=\angle ADF=\angle DFE=\alpha.
Источник: Математика в задачах: Сб. материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду / Под ред. А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова и др. — М.: МЦНМО, 2009. — № 4, с. 181