2286. На продолжении стороны BC
треугольника ABC
за вершину B
отложен отрезок BB'
, равный AB
. Биссектрисы внешних углов при вершинах B
и C
пересекаются в точке M
. Докажите, что точки A
, B'
, M
и C
лежат на одной окружности.
Решение. Биссектриса внешнего угла при вершине B
есть ось симметрии угла, поэтому точки A
и B'
симметричны относительно этой биссектрисы. Значит, треугольники ABM
и B'BM
также симметричны относительно этой биссектрисы, поэтому они равны и \angle BB'M=\angle BAM
.
Биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего углов треугольника пересекаются в одной точке, поэтому AM
— биссектриса угла BAC
. Значит,
\angle CAM=\angle BAM=\angle BB'M=\angle CB'M.
Отрезок CM
виден из точек A
и B'
, лежащих по одну сторону от прямой CM
, под одним и тем же углом. Следовательно, точки A
, B'
, M
и C
лежат на одной окружности.
Автор: Гордин Р. К.
Источник: Турнир городов. — 2006-2007, осенний тур, младшие классы, тренировочный вариант