2287. Вокруг правильного семиугольника описали окружность и вписали в него окружность. То же проделали с правильным 17-угольником. В результате каждый из многоугольников оказался расположенным в своём круговом кольце. Оказалось, что площади этих колец одинаковы. Докажите, что стороны многоугольников равны.
Решение. Пусть сторона правильного многоугольника равна 2a
, а r
и R
— радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.
По теореме Пифагора a^{2}=R^{2}-r^{2}
. Поэтому площадь кольца между окружностями равна
\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi(R^{2}-r^{2})=\pi a^{2},
откуда и следует утверждение задачи.
Источник: Турнир городов. — 2006-2007, осенний тур, младшие классы, основной вариант