2291. Дан выпуклый шестиугольник P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}
, все стороны которого равны. Каждую его вершину отразили симметрично относительно прямой, проходящей через две соседние вершины. Полученные точки обозначили через P'_{1}
, P'_{2}
, P'_{3}
, P'_{4}
, P'_{5}
и P'_{6}
соответственно. Докажите, что треугольники P'_{1}P'_{3}P'_{5}
и P'_{2}P'_{4}P'_{6}
равны.
Решение. Первый способ. Обозначим углы шестиугольника при вершинах P_{1}
, …, P_{6}
через a_{1}
, …, a_{6}
. Тогда a_{1}+\dots+a_{6}=720^{\circ}
. Рассмотрим четырёхугольник P_{2}P_{3}P_{4}P_{3}'
. Все его стороны равны, поэтому он является ромбом. Аналогично, ромбом является четырёхугольник P_{4}P_{5}P_{6}P_{5}'
. Поэтому
\angle P_{3}P_{4}P_{3}'=180^{\circ}-\angle P_{2}P_{3}P_{4}=180^{\circ}-a_{3}
и аналогично \angle P_{5}P_{4}P_{5'}=180^{\circ}-a_{5}
. Значит,
\angle P_{3}'P_{4}P_{5}'=|\angle P_{3}P_{4}P_{5}-\angle P_{3}P_{4}P_{3}'-\angle P_{5}P_{4}P_{5}'|=|a_{3}+a_{4}+a_{5}-360^{\circ}|.
Аналогично
\angle P_{2}'P_{1}P_{6}'=|a_{6}+a_{1}+a_{2}-360^{\circ}|=|(720^{\circ}-a_{3}-a_{4}-a_{5})-360^{\circ}|=\angle P_{3}'P_{4}P_{5}'.
Значит, треугольники P_{2}'P_{1}P_{6}'
и P_{3}'P_{4}P_{5}'
равны по двум сторонам (P_{2}'P_{1}=P_{1}P_{6}'=P_{3}'P_{4}=P_{4}P_{5}'
) и углу между ними (рис. 1), откуда P_{2}'P_{6}'=P_{5}'P_{3}'
. Аналогично получаем P_{2}'P_{4}'=P_{5}'P_{1}'
и P_{4}'P_{6}'=P_{1}'P_{3}'
. Значит, треугольники P'_{2}P'_{4}P'_{6}
и P'_{1}P'_{3}P'_{5}
равны по трём сторонам.
Второй способ. Как и в первом решении, заметим, что четырёхугольники P_{3}P_{4}P_{5}P_{4}'
и P_{4}P_{5}P_{6}P_{5}'
являются ромбами. Значит, \overrightarrow{P_{3}P_{4}'}=\overrightarrow{P_{4}P_{5}}=\overrightarrow{P_{5}'P_{6}}
, четырёхугольник P_{3}P_{4}'P_{6}P_{5}'
является параллелограммом, и середины отрезков P_{3}P_{6}
и P_{4}'P_{5}'
совпадают (рис. 2). Аналогично получаем, что совпадают середины отрезков P_{3}P_{6}
и P_{1}'P_{2}'
. Следовательно, отрезки P_{1}'P_{2}'
и P_{4}'P_{5}'
имеют общую середину (совпадающую с серединой P_{3}P_{6}
), четырёхугольник P_{4}'P_{2}'P_{5}'P_{1}'
является параллелограммом, и P_{5}'P_{1}'=P_{2}'P_{4}'
. Аналогично получаем P_{3}'P_{5}'=P_{6}'P_{2}'
и P_{1}'P_{3}'=P_{4}'P_{6}'
. Значит, треугольники P'_{1}P'_{3}P'_{5}
и P'_{2}P'_{4}P'_{6}
равны по трём сторонам.