2292. Стороны треугольника ABC
видны из точки T
под углами 120^{\circ}
. Докажите, что прямые, симметричные прямым AT
, BT
и CT
относительно прямых BC
, CA
и AB
соответственно, пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть T_{A}
, T_{B}
и T_{C}
— точки, симметричные T
относительно прямых BC
, AC
и AB
соответственно. Прямая AT
делит угол BTC
на два угла, каждый из которых равен 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}
, поэтому биссектриса угла BTC
лежит на прямой AT
. Тогда биссектриса симметричного ему угла BT_{A}C
, также равного 120^{\circ}
, лежит на прямой l_{A}
, симметричной AT
относительно BC
. Аналогично для двух других отражённых прямых l_{B}
и l_{C}
.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника T_{A}T_{B}T_{C}
. Докажем, что прямые l_{A}
, l_{B}
и l_{C}
пересекаются в точке O
.
Радиусы этой окружности разбивают каждый из углов при вершинах T_{A}
, T_{B}
и T_{C}
шестиугольника BT_{A}CT_{B}AT_{C}
на два угла, сумма которых равна 120^{\circ}
(если радиус проходит вне угла, то считаем, что одну часть больше 120^{\circ}
, а другую — меньше 0^{\circ}
). Эта шестёрка углов состоит из трёх пар равных (например, поскольку AT_{B}=AT=AT_{C}
и OT_{B}=OT_{C}
, треугольники AT_{B}O
и AT_{C}O
равны по трём сторонам, поэтому \angle AT_{B}O=\angle AT_{C}O
).
Пусть эти углы равны x
, x
, y
, y
, z
, z
. Тогда x+y=y+z=x+z=120^{\circ}
. Из этой системы находим, что x=y=z=60^{\circ}
. С другой стороны, каждая из прямых l_{A}
, l_{B}
и l_{C}
также разбивает рассматриваемые углы шестиугольника на части, равные 60^{\circ}
, значит, прямые l_{A}
, l_{B}
и l_{C}
содержат радиусы OT_{A}
, OT_{B}
и OT_{C}
и, следовательно, пересекаются в точке O
.