2297. Угол при вершине A
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
. Серединный перпендикуляр к стороне AB
пересекает прямую AC
в точке N
. Серединный перпендикуляр к стороне AC
пересекает прямую AB
в точке M
. Докажите, что BC=MN
.
Указание. Пусть L
и K
— середины сторон AB
и AC
соответственно. Докажите равенство треугольников ABC
и ANM
.
Решение. Пусть L
и K
— середины сторон AB
и AC
соответственно. Катет AL
прямоугольного треугольника ALN
лежит против угла в 30^{\circ}
, поэтому AN=2AL=AB
. Аналогично AM=2AK=AC
. Треугольники ABC
и ANM
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BC=MN
.
Автор: Женодаров Р. Г.
Источник: Турнир городов. — 2005-2006, XXVII, весенний тур, младшие классы, тренировочный вариант