2303. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон BC
, AC
и AB
в точках A'
, B'
и C'
соответственно. Известно, что AA'=BB'=CC'
. Обязательно ли треугольник ABC
правильный?
Ответ. Да.
Указание. Рассмотрите равные треугольники.
Решение. Первый способ. Две стороны AA'
и A'C
треугольника AA'C
соответственно равны двум сторонам BB'
и B'C
треугольника B'BC
, а угол при вершине C
общий, поэтому углы A'AC
и B'BC
либо равны, либо их сумма равна 180^{\circ}
. Второй случай невозможен, так как
\angle A'AC+\angle B'BC\lt\angle BAC+\angle ABC\lt180^{\circ}.
Значит, \angle A'AC=\angle B'BC
. Тогда \angle AA'C=\angle BB'C
, поэтому треугольники AA'C
и BB'C
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AC=BC
. Аналогично AB=AC
, т. е. треугольник ABC
— правильный.
Второй способ. Треугольник B'AC'
— равнобедренный, его равные углы при основании B'C'
— острые. Поэтому их смежные углы оба тупые и равны между собой.
По теореме синусов из треугольников BB'C'
и CC'B'
находим, что
\frac{B'C'}{\sin\angle C'BB'}=\frac{BB'}{\sin\angle BC'B'}=\frac{CC'}{\sin\angle CB'C'}=\frac{B'C'}{\sin\angle B'CC'}.
Поэтому \sin\angle C'BB'=\sin\angle B'CC'
, а так как углы острые, то \angle C'BB'=\angle B'CC'
. Тогда \angle CC'B'=\angle BB'C'
и треугольники CC'B'
и BB'C'
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
BC'=CB',~BA'=BC'=CB'=CA',
т. е. A'
— середина BC
. Аналогично докажем, что B'
— середина AC
, а C'
— середина AB
. Тогда
AB=2BC'=2BA'=BC=2CA'=2CB'=AC.
Следовательно, треугольник ABC
— правильный.