2316. В треугольнике ABC
взяли точку M
так, что радиусы описанных окружностей треугольников AMC
, BMC
и BMA
не меньше радиуса описанной окружности треугольника ABC
. Докажите, что все четыре радиуса равны.
Решение. Пусть R
и R_{A}
— радиусы описанных окружностей треугольников ABC
и BMC
соответственно. Обозначим \angle ABC=\alpha
, \angle BMC=\alpha'
. Докажем, что \alpha\lt\alpha'
. Действительно, поскольку точка M
лежит внутри треугольника ABC
, луч BM
проходит между сторонами угла ABC
. Поэтому луч BM
пересекает пересекает сторону AC
в некоторой точке P
. Тогда из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что
\alpha'=\angle BMC\gt\angle BPC\gt\angle BAC=\alpha.
Что и требовалось доказать.
По теореме синусов R=\frac{BC}{2\sin\alpha}
и R_{A}=\frac{BC}{2\sin\alpha'}
. По условию задачи R\leqslant R_{A}
, поэтому \sin\alpha'\leqslant\sin\alpha
.
Предположим, что \alpha\leqslant90^{\circ}
. Тогда либо \alpha'\leqslant\alpha
, что невозможно, либо \alpha'\geqslant180^{\circ}-\alpha
. Поэтому \alpha+\alpha'\geqslant180^{\circ}
.
Если же \alpha\gt90^{\circ}
, то и \alpha'\gt90^{\circ}
, поэтому \alpha+\alpha'\gt180^{\circ}
. Следовательно, для всех \alpha
(0^{\circ}\lt\alpha\lt180^{\circ})
верно неравенство \alpha+\alpha'\geqslant180^{\circ}
.
Аналогично, если, \angle ABC=\beta
, \angle AMC=\beta'
, \angle ACB=\gamma
и \angle AMB=\gamma'
, то \beta+\beta'\geqslant180^{\circ}
и \gamma+\gamma'\geqslant180^{\circ}
.
Сложив три полученных неравенства, получим, что
\alpha+\alpha'+\beta+\beta'+\gamma+\gamma'\geqslant540^{\circ},
а так как \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}
и \alpha'+\beta'+\gamma'=360^{\circ}
, то все неравенства обращаются в равенства. Следовательно, R=R_{A}=R_{B}=R_{C}
, где R_{B}
и R_{C}
— радиусы описанных окружностей треугольников AMC
и AMB
.