2321. Высотой пятиугольника назовём отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины на противоположную сторону, а медианой — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Известно, что в некотором пятиугольнике равны 10 длин — длины всех высот и всех медиан. Докажите, что этот пятиугольник правильный.
Решение. Пусть ABCDE
— данный пятиугольник. Треугольник ABD
равнобедренный, так как его высота, опущенная из вершины D
, равна медиане, проведённой из той же вершины. Следовательно, AD=BD
. Аналогично докажем равенство всех остальных диагоналей пятиугольника.
Равнобедренные треугольники ADB
и CAD
равны, так как соответственно равны их боковые стороны и высоты, опущенные на основания. Значит, AB=CD
. Аналогично докажем равенство всех остальных сторон пятиугольника.
Равенство всех его углов следует из равенства по трём сторонам треугольников ABC
, BCD
, CDE
, EDA
и EAB
.
Источник: Турнир городов. — 2001-2002, XXIII, осенний тур, старшие классы, тренировочный вариант