2322. Стороны AB
, BC
, CD
и DA
четырёхугольника ABCD
касаются некоторой окружности в точках K
, L
, M
и N
соответственно, S
— точка пересечения отрезков KM
и LN
. Известно, что вокруг четырёхугольника SKBL
можно описать окружность. Докажите, что вокруг четырёхугольника SNDM
также можно описать окружность.
Решение. Обозначим через \alpha
, \beta
, \gamma
и \delta
вписанные углы, опирающиеся соответственно на меньшие дуги NK
, KL
, LM
и MN
вписанной окружности четырёхугольника ABCD
. По теореме об угле между касательной и хордой
\angle BLS=\angle BLN=\alpha+\beta.
Аналогично
\angle BKS=\beta+\gamma,~\angle DMS=\alpha+\delta,~\angle DNS=\gamma+\delta.
Тогда
\angle BLS+\angle BKS+\angle DMS+\angle DNS=\alpha+\beta+\beta+\gamma+\alpha+\delta+\gamma+\delta=
=2(\alpha+\beta+\gamma+\delta)=360^{\circ},
или
(\alpha+2\beta+\gamma)+(\alpha+\gamma+2\delta)=360^{\circ}.
Четырёхугольник SKBL
вписанный, поэтому
\angle BLS+\angle BKS=(\alpha+\beta)+(\beta+\gamma)=\alpha+2\beta+\gamma=180^{\circ}.
Значит,
\angle DMS+\angle DNS=(\alpha+\delta)+(\gamma+\delta)=\alpha+\gamma+2\delta=
=360^{\circ}-(\alpha+2\beta+\gamma)=360^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ}.
Следовательно, вокруг четырёхугольника SNDM
можно описать окружность.