2323. Из бумаги вырезали два одинаковых треугольника ABC
и A'B'C'
и положили их на стол, перевернув при этом один из треугольников. Докажите, что середины отрезков AA'
, BB'
и CC'
лежат на одной прямой.
Решение. Треугольник A'B'C'
оставим на месте. Пусть при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{a}
треугольник ABC
переходит в треугольник A''B''C''
. Тогда середины отрезков AA'
, BB'
и CC'
сдвинутся на вектор \frac{1}{2}\overrightarrow{a}
. Значит, достаточно доказать утверждение задачи для треугольников ABC
и AB'C'
, т. е. можно считать, что вершины A
и A'
совпадают (если точка A
и середины отрезков BB'
и CC'
лежат на одной прямой, то их образы при параллельном переносе также лежат на одной прямой).
Заметим, что биссектрисы углов CAC'
и BAB'
совпадают, поэтому общая биссектриса углов при вершинах равнобедренных треугольников BAB'
и CAC'
проходит через через середины их оснований CC'
и BB'
. Отсюда следует доказываемое утверждение.