2332. Вневписанные окружности касаются сторон
AC
и
BC
треугольника
ABC
в точках
K
и
L
. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков
KL
и
AB
,
а) делит периметр треугольника
ABC
пополам;
б) параллельна биссектрисе угла
ACB
или содержит её.
Решение. Лемма 1. Если точки
P
и
Q
лежат на сторонах
AC
и
BC
треугольника
ABC
и
AP=BQ
, то прямая проходящая через середины
PQ
и
AB
, параллельна биссектрисе угла
BAC
или содержит её.
Доказательство. Пусть точки
P
и
Q
лежат на сторонах
AC
и
BC
соответственно (рис. 1),
M
— середина
PQ
,
D
— середина
AB
.
Построим параллелограммы
ADEP
и
BDFQ
. Поскольку
PE=AD=BD=FQ
и
PE\parallel AB\parallel FQ
, четырёхугольник
PEQF
— также параллелограмм. Его диагональ
EF
проходит через середину
M
диагонали
PQ
.
Поскольку
DE=AP=BQ=DF
, треугольник
EDF
— равнобедренный. Его медиана
DM
является биссектрисой. Лучи
DE
и
DF
противоположно направлены лучам
CA
и
CB
соответственно. Следовательно, если
AC\ne BC
, то прямая
DM
параллельна биссектрисе угла
ACB
, а если
AC=BC
, то прямая
DM
содержит эту биссектрису. Лемма доказана.
Лемма 2. Если
K
— точка касания вневписанной окружности треугольника
ABC
со стороной
AC
, то
AK=p-AB
, где
p
— полупериметр треугольника.
Доказательство. Пусть
H
и
G
— точки касания вневписанной окружности треугольника
ABC
с продолжениями сторон
AB
и
BC
соответственно (рис. 2). Тогда
AK=AH,~CK=CG,~2p=AB+AK+CK+BC=

=(AB+AH)+(CG+BC)=BH+BG=2BH,

значит,
BH=p
, Следовательно,
AK=AH=BH-AB=p-AB.

Лемма доказана.
Перейдём к нашей задаче.
б) Если
AC=BC
, утверждение очевидно. Предположим, что
AC\ne BC
(рис. 3). Пусть
N
— середина
KL
. Поскольку
AK=p-AB
и
BL=p-AB
(по лемме 2), то
AK=BL
. Следовательно, по лемме 1 прямая
DN
параллельна биссектрисе угла
ACB
. Что и требовалось доказать.
а) Если
AC=BC
, утверждение очевидно. Предположим, что
AC\lt BC
. На стороне
BC
отложим отрезок
BR=AC
. Пусть
S
— середина отрезка
CR
. Тогда
AD+AC+CS=DB+BR+RS.

Поэтому, прямая
DS
делит периметр треугольника
ABC
пополам, а так как по лемме 1 прямая
DS
параллельна биссектрисе угла
ACB
, то
DS\parallel DN
. Значит, прямые
DS
и
DN
совпадают. Следовательно, прямая
DN
делит периметр треугольника
ABC
пополам. Что и требовалось доказать.



Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Турнир городов. — 1999-2000, XXI, осенний тур, старшие классы, основной вариант
Источник: Журнал «Квант». — 2000, № 3, с. 25, М1728
Источник: Задачник «Кванта». — М1728