2334. Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника. Оказалось, что сумма площадей двух противоположных (имеющих только общую вершину) треугольников равна сумме площадей двух других треугольников. Докажите, что одна из диагоналей делится другой диагональю пополам.
Решение. Пусть ABCD
— данный четырёхугольник, O
— точка пересечения его диагоналей. Обозначим
S_{\triangle AOB}=S_{1},~S_{\triangle BOC}=S_{2},~S_{\triangle COD}=S_{3},~S_{\triangle AOD}=S_{4}.
Тогда \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{AO}{OC}=\frac{S_{4}}{S_{3}}
. Поэтому S_{1}S_{3}=S_{2}S_{4}
.
Числа S_{1}
и S_{3}
— корни квадратного уравнения t^{2}-(S_{1}+S_{3})t+S_{1}S_{3}=0
, а числа S_{2}
и S_{4}
— корни квадратного уравнения t^{2}-(S_{2}+S_{4})t+S_{2}S_{4}=0
. Поскольку S_{1}+S_{3}=S_{2}+S_{4}
и S_{1}S_{3}=S_{2}S_{4}
, то либо S_{1}=S_{2}
и S_{3}=S_{4}
, либо S_{1}=S_{4}
и S_{3}=S_{2}
.
В первом случае O
— середина AC
, во втором случае O
— середина BD
. Что и требовалось доказать.