2338. В параллелограмме проведены биссектрисы четырёх его внутренних углов. Докажите, что отношение площади четырёхугольника, ограниченного биссектрисами, к площади параллелограмма не зависит от величины угла параллелограмма.
Указание. Полученный четырёхугольник — прямоугольник.
Решение. Пусть KLMN
— четырёхугольник, ограниченный биссектрисами внутренних углов параллелограмма ABCD
со сторонами AB=a
, BC=b
и углом \alpha
, причём K
— точка пересечения биссектрис углов A
и B
, M
— точка пересечения биссектрис углов C
и D
, E
— точка пересечения биссектрисы угла A
с прямой BC
, а F
— точка пересечения биссектрисы угла C
с AD
.
Предположим, что a\lt b
. Треугольник ABE
равнобедренный, так как \angle BEA=\angle EAD=\angle EAB
, поэтому BE=AB=a
. Значит, точка E
лежит на отрезке BC
и CE=BC-BE=b-a
.
Биссектриса BK
равнобедренного треугольника ABE
является его высотой и медианой, поэтому K
— середина AE
и BK\perp AE
. Аналогично докажем, что M
— середина CF
, и остальные углы четырёхугольника KLMN
— прямые. Значит, это прямоугольник, а его диагональ KM
— отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма AECF
. Тогда EF\parallel AD
и EF=KM=CE=b-a
. Аналогично LN\parallel AB
.
Таким образом, диагонали прямоугольника KLMN
равны b-a
, а угол между ними равен \alpha
. Значит,
S_{KLMN}=\frac{1}{2}(b-a)^{2}\sin\alpha,
а так как S_{ABCD}=ab\sin\alpha
, то
\frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{2}(b-a)^{2}\sin\alpha}{ab\sin\alpha}=\frac{(b-a)^{2}}{2ab}.
Следовательно, это отношение не зависит от \alpha
.