2346. В ромбе ABCD
угол A
равен 120^{\circ}
На сторонах BC
и CD
взяты точки M
и N
так, что угол NAM
равен 30^{\circ}
. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника NAM
, лежит на диагонали ромба.
Решение. Пусть точки M
и N
лежат на сторонах BC
и CD
соответственно, O
— центр описанной окружности треугольника MAN
. Тогда треугольник MON
равносторонний, а так как \angle MON+\angle MCN=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ}
, точки O
, M
, C
и N
лежат на одной окружности.
Пусть диагональ AC
вторично пересекает эту окружность в точке O_{1}
. Вписанные в эту окружность углы NMO_{1}
и NCO_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle NMO_{1}=\angle NCO_{1}=\angle ACD=60^{\circ}=\angle NMO.
Значит, луч MO
совпадает с лучом MO_{1}
, а точка O
совпадает с точкой O_{1}
, лежащей на диагонали AC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Женодаров Р. Г.
Источник: Турнир городов. — 2008-2009, XXX, весенний тур, младшие классы, тренировочный вариант