2347. Четыре перпендикуляра, опущенные из вершин выпуклого пятиугольника на противоположные стороны, пересекаются в одной точке. Докажите, что пятый такой перпендикуляр тоже проходит через эту точку.
Указание. Примените скалярное произведение векторов.
Решение. Пусть O
— точка пересечения перпендикуляров, опущенных из вершин A
, B
, C
и D
пятиугольника ABCDE
на противолежащие стороны. Нетрудно убедиться, что точка O
не может совпадать с вершиной пятиугольника. Пусть OA\perp CD
. Тогда \overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD})=0
, т. е. \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}
.
Аналогично из OB\perp DE
, OC\perp EA
, OD\perp AB
получаем равенства
\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OE},~~\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA},~~\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OB}.
Но тогда и
\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OE},~\overrightarrow{OE}\cdot(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})=0,
т. е. \overrightarrow{OE}\cdot\overrightarrow{CB}=0
. Значит, OE\perp BC
.