2348. Равнобокая трапеция описана около окружности. Докажите, что биссектриса тупого угла этой трапеции делит её площадь пополам.
Решение. Пусть M
и N
— точки касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию ABCD
, с её основаниями BC
и AD
соответственно, O
— центр окружности, K
— точка пересечения биссектрисы тупого угла B
с основанием AD
.
Точка O
лежит на отрезке BK
, а также делит пополам отрезок MN
. Площади равных прямоугольных треугольников BOM
и KON
равны. Также равны площади равных трапеций ABMN
и DCMN
. Значит, S_{ABON}=S_{DOMC}
. Следовательно,
S_{\triangle ABK}=S_{ABON}+S_{\triangle KON}=S_{DCMN}+S_{\triangle BOM}=S_{BCDK}.
Что и требовалось доказать.