2350. Вершины треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, не совпадающего с треугольником ABC
, лежат внутри треугольника ABC
или на его сторонах. Докажите, что радиус окружности, вписанной в треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
, меньше радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Решение. Вписанная окружность \omega_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, как и сам этот треугольник, расположена внутри треугольника ABC
, поэтому достаточно доказать, что из всех окружностей, расположенных внутри треугольника ABC
, наибольший радиус имеет вписанная в него окружность \omega
.
Предположим, что радиус r_{1}
окружности \omega_{1}
больше радиуса r
окружности \omega
. Через центр I
окружности \omega
проведём прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника ABC
. Каждая из этих прямых отсекает от треугольника трапецию с высотой, равной r
. Центр I_{1}
окружности \omega_{1}
лежит внутри по крайней мере одной из них. Тогда окружность с центром I_{1}
радиуса r_{1}
, большего r
, пересекает большее основание трапеции, т. е. сторону треугольника, и поэтому не может лежать внутри треугольника, что противоречит условию.